微积分学示例

$\tan (x y) = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (\tan (x y)) = \frac{d}{d y} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \tan (y)$ 且 $g (y) = x y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y$ 。

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (x y) (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\sec^{2} (x y) (x + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 2.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$\sec^{2} (x y) (x + y x')$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$\sec^{2} (x y) x + \sec^{2} (x y) (y x')$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x' = x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $x \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) x'$ 中的因式重新排序。

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) = x'$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x'$ 。

$x \sec^{2} (x y) + y x' \sec^{2} (x y) - x' = 0$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $x \sec^{2} (x y)$ 。

$y x' \sec^{2} (x y) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

解题步骤 5.4

从 $y x' \sec^{2} (x y) - x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $y x' \sec^{2} (x y)$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (y \sec^{2} (x y)) - x' = - x \sec^{2} (x y)$

解题步骤 5.4.2

从 $- x'$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1 = - x \sec^{2} (x y)$

解题步骤 5.4.3

从 $x' (y \sec^{2} (x y)) + x' \cdot - 1$ 中分解出因数 $x'$ 。

$x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$

解题步骤 5.5

将 $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ 中的每一项除以 $y \sec^{2} (x y) - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $x' (y \sec^{2} (x y) - 1) = - x \sec^{2} (x y)$ 中的每一项都除以 $y \sec^{2} (x y) - 1$ 。

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $y \sec^{2} (x y) - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' (y \sec^{2} (x y) - 1)}{y \sec^{2} (x y) - 1} = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \sec^{2} (x y)}{y \sec^{2} (x y) - 1}$

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