微积分学示例

Let $h (x) = e^{2 x - 6} - e$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $e^{2 x - 6} - e$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x - 6$ 。

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解题步骤 1.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 6$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.1.3

使用 $2 x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6] + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.2

根据加法法则， $2 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x - 6} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.7

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 x - 6} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.2.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x - 6}$ 的左侧。

$2 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- e]$

解题步骤 1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 e^{2 x - 6} + 0$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2 e^{2 x - 6}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 e^{2 x - 6}$

解题步骤 1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 e^{2 x - 6}$ 。

$2 e^{2 x - 6}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 e^{2 x - 6} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 e^{2 x - 6} = 0$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2 e^{2 x - 6}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.4

$2 e^{2 x - 6} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

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