微积分学示例

$\int_{- 3}^{4} (2 e^{- 3 x} - 3 e^{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{4} 2 e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- 3}^{4} e^{- 3 x} d x + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 4

使 $u = - 3 x$ 。然后使 $d u = - 3 d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = - 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = - 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 3 \cdot - 3$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$u_{lower} = 9$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = - 3 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 3 \cdot 4$

解题步骤 4.5

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$u_{upper} = - 12$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = - 12$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} \frac{1}{- 3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将负号移到分数的前面。

$2 \int_{9}^{- 12} e^{u} (- \frac{1}{3}) d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 5.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 \int_{9}^{- 12} - \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \int_{9}^{- 12} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 2 (\frac{1}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 9.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} \int_{9}^{- 12} e^{u} d u + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 10

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} + \int_{- 3}^{4} - 3 e^{x} d x$

解题步骤 11

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 \int_{- 3}^{4} e^{x} d x$

解题步骤 12

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$- \frac{2}{3} e^{u}]_{9}^{- 12} - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 12$ 处和在 $9$ 处的值。

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 (e^{x}]_{- 3}^{4})$

解题步骤 13.2

计算 $e^{x}$ 在 $4$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$- \frac{2}{3} ((e^{- 12}) - e^{9}) - 3 ((e^{4}) - e^{- 3})$

解题步骤 13.3

去掉圆括号。

$- \frac{2}{3} (e^{- 12} - e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

运用分配律。

$- \frac{2}{3} e^{- 12} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14.1.2

组合 $e^{- 12}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- e^{9}) - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14.1.3

乘以 $- \frac{2}{3} (- e^{9})$ 。

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解题步骤 14.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + 1 (\frac{2}{3}) e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14.1.3.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2}{3} e^{9} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14.1.3.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $e^{9}$ 。

$- \frac{e^{- 12} \cdot 2}{3} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 12}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 (e^{4} - e^{- 3})$

解题步骤 14.1.5

运用分配律。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} - 3 (- e^{- 3})$

解题步骤 14.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 e^{- 3}$

解题步骤 14.2

化简每一项。

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解题步骤 14.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + 3 \frac{1}{e^{3}}$

解题步骤 14.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e^{3}}$ 。

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2}{3 e^{12}} + \frac{2 e^{9}}{3} - 3 e^{4} + \frac{3}{e^{3}}$

小数形式：

$5238.41085872 \dots$

解题步骤 16

微积分学 示例

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