微积分学示例

$\sqrt{5 - x}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{5 - x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{5 - x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{5 - x} d x$

解题步骤 4

使 $u = 5 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 5 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $5 - x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 - x]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $5 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - \sqrt{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 8

将 $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 重写为 $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9

使用 $5 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \sqrt{5 - x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(5 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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