微积分学示例

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ 和 $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ 。

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ 在 $\frac{3 π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{2}$ 处的值。

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

组合 $\frac{3 π}{2}$ 和 $\cos (\frac{3 π}{2})$ 。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.2.2.2

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $\cos (\frac{π}{2})$ 。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 5.2.2.3

要将 $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.2.2.4

组合 $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.2.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.3

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.3.8

要将 $\sin (\frac{3 π}{2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.3.9

组合 $\sin (\frac{3 π}{2})$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.3.10

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.3.11

将 $2$ 移到 $\sin (\frac{3 π}{2})$ 的左侧。

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.3.12

从 $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.3.13

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.3.14

从 $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.3.15

从 $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

解题步骤 5.3.16

从 $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

解题步骤 5.3.17

将 $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ 重写为 $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ 。

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

解题步骤 5.3.18

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.4.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.4.3

乘以 $3 π \cdot 0$ 。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.4.3.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

解题步骤 5.4.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

解题步骤 5.4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

解题步骤 5.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 5.4.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

解题步骤 5.4.8

约去 $0 + 2 + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.8.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

解题步骤 5.4.8.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

解题步骤 5.4.8.3

从 $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

解题步骤 5.4.8.4

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

解题步骤 5.4.8.5

从 $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

解题步骤 5.4.8.6

约去公因数。

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解题步骤 5.4.8.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

解题步骤 5.4.8.6.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.8.6.3

重写表达式。

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

解题步骤 5.4.8.6.4

用 $0 + 1 + 1$ 除以 $1$ 。

$- (0 + 1 + 1)$

解题步骤 5.4.9

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$- (1 + 1)$

解题步骤 5.4.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 1 \cdot 2$

解题步骤 5.4.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2$

微积分学 示例

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