微积分学示例

$\int_{1}^{2} 2 x (1 + x^{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2 x} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 1^{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 1 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 2^{2}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 1 + 4$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{5} u d u$

解题步骤 2

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{2}]_{2}^{5}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{1}{2} u^{2}$ 在 $5$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $25$ 。

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$

解题步骤 3.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4$

解题步骤 3.2.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{25}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.5

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.2.6

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

解题步骤 3.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

解题步骤 3.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{25}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{25}{2} + \frac{- 2}{1}$

解题步骤 3.2.6.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\frac{25}{2} - 2$

解题步骤 3.2.7

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{25 - 2 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.10

化简分子。

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解题步骤 3.2.10.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{25 - 4}{2}$

解题步骤 3.2.10.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$\frac{21}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{21}{2}$

小数形式：

$10.5$

带分数形式：

$10 \frac{1}{2}$

解题步骤 5

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