微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{x - 1}{x + 1} d x$

解题步骤 1

用 $x - 1$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$1$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	-	$1$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$1$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$1$
					-	$2$

解题步骤 1.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{2}{x + 1} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{2}{x + 1} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x + 1} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 7

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 7.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 7.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 7.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 7.2

将下限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 7.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 7.4

将上限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 7.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 7.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$x]_{0}^{1} - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1) + 0 - 2 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

解题步骤 9.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(1) + 0 - 2 ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$1 - 2 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$1 - 2 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$1 - 2 \ln (\frac{2}{1})$

解题步骤 11.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$1 - 2 \ln (2)$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 - 2 \ln (2)$

小数形式：

$- 0.38629436 \dots$

解题步骤 13

微积分学 示例

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