微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.5

化简项。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.5.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.2.5.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} \tan (2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{0}{3 \tan (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

解题步骤 1.3.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

解题步骤 1.3.6

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{3 \tan (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

解题步骤 1.3.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{3 \tan (2 \cdot 0) - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.8

化简答案。

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解题步骤 1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.8.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{3 \tan (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.8.1.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.8.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

解题步骤 1.3.8.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.8.1.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.8.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.8.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{3 \tan (2 x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{- x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.5

将 $- e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x) - 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $3 \tan (2 x) - 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [3 \tan (2 x)]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \tan (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.6

将 $2$ 移到 $\sec^{2} (2 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 (2 \sec^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.7.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 2 (3 x^{2})}$

解题步骤 3.8.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{6 \sec^{2} (2 x) - 6 x^{2}}$

解题步骤 3.9

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 6

将极限移入指数中。

$\frac{- e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 7

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 6 x^{2} + 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 9

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 10

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 11

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

解题步骤 13

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

解题步骤 14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- e^{- lim_{x \to 0} x}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 15

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 15.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{0}}{- 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 15.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 15.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{- e^{0}}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0^{2} + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

解题步骤 16.2

化简分母。

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解题步骤 16.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{- 6 \cdot 0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

解题步骤 16.2.2

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (2 \cdot 0)}$

解题步骤 16.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \sec^{2} (0)}$

解题步骤 16.2.4

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 16.2.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6 \cdot 1}$

解题步骤 16.2.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{0 + 6}$

解题步骤 16.2.7

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 1}{6}$

解题步骤 16.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{6}$

解题步骤 16.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{6}$

微积分学 示例

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