微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.2.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (2 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (2 x)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (2 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\tan (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.3.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.8

重新排序 $4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x)$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

解题步骤 1.3.9

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.3.10.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.14

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) \cdot 1}$

解题步骤 1.3.16

将 $\sin (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{x (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x)}$

解题步骤 1.3.17

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.5

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.8.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.8.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.8.3

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.8.4

将 $\tan (2 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{\tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.8.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.2.8.6

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.3.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.3.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 3.1.3.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 3.1.3.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.9

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.9.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.9.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.9.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.9.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.9.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.9.1.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

解题步骤 3.1.3.9.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 3.1.3.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.9.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$4 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x) \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ 且 $g (x) = \tan (2 x)$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (2 x)$ 乘以 $\sec^{2} (2 x)$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.8

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (2 x)$ 的左侧。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x)$ 。

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解题步骤 3.3.9.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (2 x)$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.9.3

使用 $\sec (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + \tan (2 x) \cdot 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 移到 $\tan (2 x)$ 的左侧。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.11.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.11.2

$\sec (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.11.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.12

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.13

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.16

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.17

对 $\sec (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.20

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.21

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.23

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{4} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.24

重新排序项。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.25

根据加法法则， $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26

计算 $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.26.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x \cos (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.26.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.26.9

将 $\cos (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

解题步骤 3.3.27

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.27.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.3.27.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.3.27.1.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.3.27.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.3.27.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.27.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.27.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

解题步骤 3.3.27.5

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.3.28

化简。

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解题步骤 3.3.28.1

运用分配律。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.3.28.2

合并项。

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解题步骤 3.3.28.2.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 3.3.28.2.2

将 $3 \cos (3 x)$ 和 $3 \cos (3 x)$ 相加。

$4 lim_{x \to 0} \frac{4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to 0} 4 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$4 \frac{4 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{4 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.6

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 \frac{4 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.8

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (2 x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (2 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.9

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.11

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sec^{4} (2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.12

使用极限幂法则把 $\sec^{4} (2 x)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.13

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.15

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.16

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.17

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.18

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.19

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

解题步骤 4.20

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

解题步骤 4.21

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 4.22

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{4 \sec^{2} (2 \cdot 0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{4 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \frac{4 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.3

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{4 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (2 \cdot 0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{4 \cdot \tan^{2} (0) + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.6

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \frac{4 \cdot 0^{2} + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \frac{4 \cdot 0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.8

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (2 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.9

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0 + 2 \sec^{4} (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.10

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1^{4}}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.11

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{0 + 2 \cdot 1}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{0 + 2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.1.13

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$4 \frac{2}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 9$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{2}{0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \frac{2}{0 \cdot 0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

解题步骤 6.2.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{2}{0 + 6 \cos (0)}$

解题步骤 6.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \frac{2}{0 + 6 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.7

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{2}{0 + 6}$

解题步骤 6.2.8

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$4 (\frac{2}{6})$

解题步骤 6.3

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{2 (1)}{6}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$4 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{1}{3})$

解题步骤 6.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{4}{3}$

小数形式：

$1.\overline{3}$

微积分学 示例

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