微积分学示例

$\int_{0}^{\ln (2)} x e^{- x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{\ln (2)} - e^{- x} d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - - \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + 1 \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

解题步骤 3.2

将 $\int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x$

解题步骤 4

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - \ln (2)$

解题步骤 4.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

解题步骤 4.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$x (- e^{- x})]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $x (- e^{- x})$ 在 $\ln (2)$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)})$

解题步骤 7.2

计算 $e^{u}$ 在 $- \ln (2)$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\ln (2) (- e^{- \ln (2)})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- e^{0}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 7.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 \cdot - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 7.3.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) + 0 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 7.3.5

将 $\ln (2) (- e^{- \ln (2)})$ 和 $0$ 相加。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0})$

解题步骤 7.3.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 7.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2) (- e^{- \ln (2)}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (2)$ 。

$\ln (2) (- e^{\ln (2^{- 1})}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

解题步骤 8.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\ln (2) (- 2^{- 1}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\ln (2) (- \frac{1}{2}) - (e^{- \ln (2)} - 1)$

解题步骤 8.4

组合 $\ln (2)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{- \ln (2)} - 1)$

解题步骤 8.5

化简每一项。

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解题步骤 8.5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln (2)$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1)$

解题步骤 8.5.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (2^{- 1} - 1)$

解题步骤 8.5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

解题步骤 8.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 8.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

解题步骤 8.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 8.9

化简分子。

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解题步骤 8.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

解题步骤 8.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} - \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\ln (2)}{2} - - \frac{1}{2}$

解题步骤 8.11

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 8.11.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 8.11.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\ln (2)}{2} + \frac{1}{2}$

小数形式：

$0.15342640 \dots$

解题步骤 10

微积分学 示例

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