微积分学示例

$x^{2} y - 5 y = 12$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} y - 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 y$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

解题步骤 3

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

解题步骤 5.2

从 $x^{2} y' - 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{2} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

解题步骤 5.2.2

从 $- 5 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

解题步骤 5.2.3

从 $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

解题步骤 5.3

将 $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ 中的每一项除以 $x^{2} - 5$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x^{2} - 5$ 。

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x^{2} - 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

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