微积分学示例

$\int \cos^{3} (x) d x$

解题步骤 1

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \cos (x) \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = \cos^{2} (x)$ 。

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (- \sin (x)) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) \sin (x) d x$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + 1 \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

解题步骤 4.5.2

将 $\int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

解题步骤 4.5.3

将 $\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int \sin (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (x)$ ， $d v = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

解题步骤 6.2

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

解题步骤 6.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

解题步骤 6.4

组合 $\cos (2 x)$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) \cos (x) d x$

解题步骤 7

求解 $\int \cos^{3} (x) d x$ ，我们发现 $\int \cos^{3} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简答案。

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解题步骤 8.1.1

将 $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$ 重写为 $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$ 。

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

解题步骤 8.1.2

化简。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

解题步骤 8.1.2.2

合并。

$\frac{4 (\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.3

运用分配律。

$\frac{4 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.4.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.4.3

重写表达式。

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.5.2

重写表达式。

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.6.1

约去公因数。

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.6.2

重写表达式。

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.8

组合 $- 4$ 和 $\frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}$ 。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- 4 (\cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.9

约去 $- 4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.2.9.1

从 $- 4 \cos (2 x) \sin (x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 8.1.2.9.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 (2)}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 \cdot 2}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- \cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 8.1.2.11

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

解题步骤 8.1.3

化简。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8}$ 中的因式重新排序。

$\frac{2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

解题步骤 8.1.3.2

重新排序项。

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$ 重写为 $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$ 。

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \sin (x) \cos (2 x)) + C$

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