微积分学示例

$\sin (\frac{π}{2} - 6 x)$

解题步骤 1

将 $\sin (\frac{π}{2} - 6 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 6 x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin (\frac{π}{2} - 6 x) d x$

解题步骤 4

使 $u = \frac{π}{2} - 6 x$ 。然后使 $d u = - 6 d x$ ，以便 $- \frac{1}{6} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \frac{π}{2} - 6 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{π}{2} - 6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2} - 6 x]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $\frac{π}{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $\frac{π}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 6 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$0 - 6$

解题步骤 4.1.4

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$- 6$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sin (u) \frac{1}{- 6} d u$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将负号移到分数的前面。

$\int \sin (u) (- \frac{1}{6}) d u$

解题步骤 5.2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\int - \frac{\sin (u)}{6} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{\sin (u)}{6} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 8

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- \frac{1}{6} (- \cos (u) + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$- \frac{1}{6} (- \cos (u)) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{6}) \cos (u) + C$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cos (u) + C$

解题步骤 9.2.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $\cos (u)$ 。

$\frac{\cos (u)}{6} + C$

解题步骤 10

使用 $\frac{π}{2} - 6 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{2} - 6 x)}{6} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{6} \cos (\frac{π}{2} - 6 x) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - 6 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{6} \cos (\frac{π}{2} - 6 x) + C$

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