微积分学示例

$a_{n} = n \cdot (n + 1)!$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 等于 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ，其中 $f (n) = n$ 且 $g (n) = (n + 1)!$ 。

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \frac{d}{d n} [n]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)! \cdot 1$

解题步骤 1.2.2

将 $(n + 1)!$ 乘以 $1$ 。

$f' (n) = n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $n \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + (n + 1)!$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 。

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 等于 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ，其中 $f (n) = n$ 且 $g (n) = \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 乘以 $1$ 。

$f'' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!] + \frac{d}{d n} [(n + 1)!]$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 。

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 等于 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ，其中 $f (n) = n$ 且 $g (n) = \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 乘以 $1$ 。

$f''' (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 。

$\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d n} [n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ 等于 $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ ，其中 $f (n) = n$ 且 $g (n) = \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] \cdot 1 + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (n) = n \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]] + \frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [\frac{d}{d n} [(n + 1)!]]]$

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