微积分学示例

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} - 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

解题步骤 2.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

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解题步骤 2.1.1.4.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - 6 x - 16 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 6 x - 16 \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.4.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} - 6 x - 16$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 16]$

解题步骤 2.1.2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 6 + 0$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 x - 6$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 x - 6$ 。

$2 x - 6$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - 6 = 0$

解题步骤 2.2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$2 x = 6$

解题步骤 2.2.3

将 $2 x = 6$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $2 x = 6$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{6}{2}$

解题步骤 2.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.3.1

用 $6$ 除以 $2$ 。

$x = 3$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 2 (0) - 6$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 6$

解题步骤 5.2.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f'' (0) = - 6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 6$ 。

$- 6$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, 3)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 3)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(3, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6) = 2 (6) - 6$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f'' (6) = 12 - 6$

解题步骤 6.2.2

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$f'' (6) = 6$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(3, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 3)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

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