微积分学示例

$- x y + 2 x = 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- x y + 2 x) = \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- x y + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- (x y' + y) + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- (x y' + y) + 2$

解题步骤 2.4

运用分配律。

$- x y' - y + 2$

解题步骤 3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x y' - y + 2 = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$- x y' + 2 = y$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x y' = y - 2$

解题步骤 5.2

将 $- x y' = y - 2$ 中的每一项除以 $- x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- x y' = y - 2$ 中的每一项都除以 $- x$ 。

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y}{- x} + \frac{- 2}{- x}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{- 2}{- x}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{2}{x}$

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