微积分学示例

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - x}{3 \sin (x + 3) + 3 x}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

解题步骤 3

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

解题步骤 5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + 3 x}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

解题步骤 7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} \sin (x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $- 3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

解题步骤 10

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 3$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + lim_{x \to - 3} 3 x}$

解题步骤 11

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

解题步骤 12

将 $- 3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{- 3 + 3} - lim_{x \to - 3} x}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

解题步骤 12.2

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (lim_{x \to - 3} x + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

解题步骤 12.3

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 lim_{x \to - 3} x}$

解题步骤 12.4

将 $- 3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{- 3 + 3} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{e^{0} + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 + 3}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4}{3 \sin (- 3 + 3) + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4}{3 \sin (0) + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{4}{3 \cdot 0 + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13.2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{0 + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 13.2.4

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4}{0 - 9}$

解题步骤 13.2.5

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$\frac{4}{- 9}$

解题步骤 13.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{9}$

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