微积分学示例

$4 - x y = y - 4 x^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 - x y) = \frac{d}{d x} (y - 4 x^{4})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $4 - x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$0 - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$0 - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$0 - (x y' + y)$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$0 - (x y') - y$

解题步骤 2.3.2

从 $0$ 中减去 $- (- x y' - y)$ 。

$- x y' - y$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $y - 4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$y' - 4 (4 x^{3})$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$y' - 16 x^{3}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$- 16 x^{3} + y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- x y' - y = - 16 x^{3} + y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$- x y' - y - y' = - 16 x^{3}$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $y$ 。

$- x y' - y' = - 16 x^{3} + y$

解题步骤 5.3

从 $- x y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $- x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x) - y' = - 16 x^{3} + y$

解题步骤 5.3.2

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x) + y' \cdot - 1 = - 16 x^{3} + y$

解题步骤 5.3.3

从 $y' (- x) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$

解题步骤 5.4

将 $y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$ 中的每一项除以 $- x - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (- x - 1) = - 16 x^{3} + y$ 中的每一项都除以 $- x - 1$ 。

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $- x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- x - 1)}{- x - 1} = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{16 x^{3}}{- x - 1} + \frac{y}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 16 x^{3} + y}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3.3

从 $- 16 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (16 x^{3}) + y}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3.4

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (16 x^{3}) - 1 (- y)}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3.5

从 $- (16 x^{3}) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (16 x^{3} - y)}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3.6

将 $- (16 x^{3} - y)$ 重写为 $- 1 (16 x^{3} - y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- x - 1}$

解题步骤 5.4.3.7

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x) - 1}$

解题步骤 5.4.3.8

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x) - 1 (1)}$

解题步骤 5.4.3.9

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- (x + 1)}$

解题步骤 5.4.3.10

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- 1 (x + 1)}$

解题步骤 5.4.3.11

约去公因数。

$y' = \frac{- 1 (16 x^{3} - y)}{- 1 (x + 1)}$

解题步骤 5.4.3.12

重写表达式。

$y' = \frac{16 x^{3} - y}{x + 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3} - y}{x + 1}$

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