微积分学示例

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} e^{x}$

解题步骤 1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to \infty} 3 \frac{1}{x^{2}} e^{x}$

解题步骤 1.2

合并因数。

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解题步骤 1.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} e^{x}$

解题步骤 1.2.2

组合 $\frac{3}{x^{2}}$ 和 $e^{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $3$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

思考去掉常数倍数 $3$ 后的极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

解题步骤 2.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

解题步骤 3.1.2

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $3$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

思考去掉常数倍数 $3$ 后的极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

解题步骤 3.1.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

解题步骤 3.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2}$

解题步骤 4

因为函数 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $\frac{3}{2}$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 4.1

思考去掉常数倍数 $\frac{3}{2}$ 后的极限。

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

解题步骤 4.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\infty$

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