微积分学示例

$\int \frac{3 x - 2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{3 x - 2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (3 x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (3 x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (3 x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 3.3

将负号移到分数的前面。

$\int (3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4

展开 $(3 x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 3 x^{1 - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\int 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.3.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 10.2.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

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