微积分学示例

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2}$

解题步骤 1.5

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 重写为 ${u_{1}}^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ 重写为 ${u_{1}}^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.2.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{3}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ 和 $e^{- {u_{1}}^{4}}$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = 0^{2}$

解题步骤 4.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = 1^{2}$

解题步骤 4.5

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ 重写为 ${u_{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{u_{2}}{2}$ 和 $e^{- {u_{2}}^{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 8

使 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $- {u_{2}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

解题步骤 8.1.2

因为 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- {u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 u_{2})$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 u_{2}$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 中的 $u_{2}$ 。

$u_{lower} = - 0^{2}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 8.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 中的 $u_{2}$ 。

$u_{upper} = - 1^{2}$

解题步骤 8.5

化简。

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解题步骤 8.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 8.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.7

使用 $u_{3}$ 、 $d u_{3}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

解题步骤 9.2

组合 $e^{u_{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 12.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 13

$e^{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $e^{u_{3}}$ 。

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $e^{u_{3}}$ 在 $- 1$ 处和在 $0$ 处的值。

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

解题步骤 14.2

化简。

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解题步骤 14.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 14.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

解题步骤 15.3

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{8}$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

解题步骤 15.4

乘以 $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 15.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

解题步骤 15.4.2

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 15.5

将 $8$ 移到 $e$ 的左侧。

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

小数形式：

$0.07901506 \dots$

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例