微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.1.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.1.4

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.3.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.2.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

解题步骤 1.3.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 1.3.3

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 1.3.4

化简项。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

解题步骤 1.3.4.2

化简答案。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.3.4.2.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 6$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 6$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 x - 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $2 x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.9

将 $2$ 移到 $\cos (2 x - 6)$ 的左侧。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $\cos (2 x - 6)$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

解题步骤 3.11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 3.11.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

解题步骤 3.11.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

解题步骤 3.11.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

解题步骤 3.12

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

解题步骤 3.13

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

解题步骤 3.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

解题步骤 3.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

解题步骤 3.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

解题步骤 3.18

组合 $\frac{1}{4 - x}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

解题步骤 3.19

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

解题步骤 6

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

解题步骤 11

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

解题步骤 13

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

解题步骤 14

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

解题步骤 14.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

解题步骤 15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

解题步骤 15.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

解题步骤 15.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

解题步骤 15.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cdot (4 - 3)$

解题步骤 15.5

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 15.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

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