微积分学示例

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} - 18 x + 12$ 。

$6 x^{2} - 18 x + 12$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{2} - 18 x + 12$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 ${(2)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1

将 $2$ 乘以 ${(2)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$16 - 36 + 12 (2)$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$16 - 36 + 24$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

从 $16$ 中减去 $36$ 。

$- 20 + 24$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $- 20$ 和 $24$ 相加。

$4$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

解题步骤 4.2.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$2 - 9 + 12 (1)$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$2 - 9 + 12$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $2$ 中减去 $9$ 。

$- 7 + 12$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 7$ 和 $12$ 相加。

$5$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(2, 4), (1, 5)$

解题步骤 5

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