微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{9} - 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$

解题步骤 1

有限等比数列的和可以用公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ 来求得，其中 $a$ 是首项， $r$ 是相邻两项之间的比例。

解题步骤 2

通过代入公式 $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ 并化简，求相邻项之间的比例。

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解题步骤 2.1

将 $a_{i}$ 和 $a_{i + 1}$ 代入公式，求 $r$ 。

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

约去 $- 28$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$r = \frac{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.1.2

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2

约去 ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ 和 ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

从 ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1 - 1}$ 中分解出因数 ${(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1}}$

解题步骤 2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

约去公因数。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- \frac{1}{2})}^{i - 1} \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2.3

重写表达式。

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.4

用 ${(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$ 除以 $1$ 。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i + 0 - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.3

将 $i$ 和 $0$ 相加。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - (i - 1)}$

解题步骤 2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1

运用分配律。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i - - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{i - i + 1}$

解题步骤 2.2.5

从 $i$ 中减去 $i$ 。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{0 + 1}$

解题步骤 2.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$r = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

解题步骤 2.2.7

化简。

$r = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

通过代入下界并化简，求级数中的第一项。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $- 28 {(- \frac{1}{2})}^{i - 1}$ 以替换 $i$ 。

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{1 - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a = - 28 {(- \frac{1}{2})}^{0}$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0})$

解题步骤 3.2.2.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$a = - 28 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}})$

解题步骤 3.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = - 28 (1 \frac{1^{0}}{2^{0}})$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ 乘以 $1$ 。

$a = - 28 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

解题步骤 3.2.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = - 28 \frac{1}{2^{0}}$

解题步骤 3.2.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.7

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

约去公因数。

$a = - 28 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.2.7.2

重写表达式。

$a = - 28 \cdot 1$

解题步骤 3.2.8

将 $- 28$ 乘以 $1$ 。

$a = - 28$

解题步骤 4

将公比、首项和项数的值代入求和公式。

$- 28 \frac{1 - {(- \frac{1}{2})}^{9}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} {(\frac{1}{2})}^{9})}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- 28 \frac{1 - ({(- 1)}^{9} \frac{1^{9}}{2^{9}})}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{9}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{9}$ 。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot - 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.2.2

将 ${(- 1)}^{9}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 5.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{9 + 1} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$- 28 \frac{1 + {(- 1)}^{10} \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.3

对 $- 1$ 进行 $10$ 次方运算。

$- 28 \frac{1 + 1 \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.4

将 $\frac{1^{9}}{2^{9}}$ 乘以 $1$ 。

$- 28 \frac{1 + \frac{1^{9}}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.5

一的任意次幂都为一。

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{2^{9}}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.6

对 $2$ 进行 $9$ 次方运算。

$- 28 \frac{1 + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 28 \frac{\frac{512}{512} + \frac{1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.8

在公分母上合并分子。

$- 28 \frac{\frac{512 + 1}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.1.9

将 $512$ 和 $1$ 相加。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 - - \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{1 + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{2 + 1}{2}}$

解题步骤 5.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 28 \frac{\frac{513}{512}}{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

$- 28 (\frac{513}{512} \cdot \frac{2}{3})$

解题步骤 5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $513$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 28 (\frac{3 (171)}{512} \cdot \frac{2}{3})$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$- 28 (\frac{3 \cdot 171}{512} \cdot \frac{2}{3})$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$- 28 (\frac{171}{512} \cdot 2)$

解题步骤 5.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

从 $512$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 28 (\frac{171}{2 (256)} \cdot 2)$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

$- 28 (\frac{171}{2 \cdot 256} \cdot 2)$

解题步骤 5.5.3

重写表达式。

$- 28 (\frac{171}{256})$

解题步骤 5.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

从 $- 28$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 7) \frac{171}{256}$

解题步骤 5.6.2

从 $256$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

解题步骤 5.6.3

约去公因数。

$4 \cdot - 7 \frac{171}{4 \cdot 64}$

解题步骤 5.6.4

重写表达式。

$- 7 (\frac{171}{64})$

解题步骤 5.7

组合 $- 7$ 和 $\frac{171}{64}$ 。

$\frac{- 7 \cdot 171}{64}$

解题步骤 5.8

将 $- 7$ 乘以 $171$ 。

$\frac{- 1197}{64}$

解题步骤 5.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1197}{64}$

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