微积分学示例

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{4}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 3.1.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{x}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

解题步骤 3.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

微积分学 示例

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