微积分学示例

${(e^{x} + 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(e^{x} + 1)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(e^{x} + 1)}^{2}$ 重写为 $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ 。

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.3.1.1.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.3.1.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.3.1.3

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

解题步骤 4.3.2

将 $e^{x}$ 和 $e^{x}$ 相加。

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 6

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 7

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 10

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

解题步骤 11

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

解题步骤 13

化简。

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

解题步骤 14

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

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