微积分学示例

Let $g (x) = x^{4} - x^{5}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

解题步骤 1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

解题步骤 1.3

重新排序项。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$g'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$g'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$g'' (x) = - 20 x^{3} + 12 x^{2}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$4 x^{3} - (5 x^{4})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{3} - 5 x^{4}$

解题步骤 4.1.3

重新排序项。

$f' (x) = - 5 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 4.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ 。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 5 x^{4} + 4 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2

从 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $- x^{3}$ 。

$- x^{3} (5 x) + 4 x^{3} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $- x^{3}$ 。

$- x^{3} (5 x) - x^{3} \cdot - 4 = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- x^{3} (5 x) - x^{3} (- 4)$ 中分解出因数 $- x^{3}$ 。

$- x^{3} (5 x - 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$5 x - 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $5 x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $5 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$5 x - 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $5 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$5 x = 4$

解题步骤 5.5.2.2

将 $5 x = 4$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.2.1

将 $5 x = 4$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{5}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $- x^{3} (5 x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{4}{5}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, \frac{4}{5}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 20 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 20 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 20$ 乘以 $0$ 。

$0 + 12 {(0)}^{2}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 12 \cdot 0$

解题步骤 9.1.4

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{5}) \cup (\frac{4}{5}, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$g' (- 2) = - 5 {(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$g' (- 2) = - 5 \cdot 16 + 4 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $16$ 。

$g' (- 2) = - 80 + 4 {(- 2)}^{3}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$g' (- 2) = - 80 + 4 \cdot - 8$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$g' (- 2) = - 80 - 32$

解题步骤 10.2.2.2

从 $- 80$ 中减去 $32$ 。

$g' (- 2) = - 112$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- 112$ 。

$- 112$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \frac{4}{5})$ 内的任一数字（例如 $0.4$ ）代入一阶导数 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $0.4$ 替换变量 $x$ 。

$g' (0.4) = - 5 {(0.4)}^{4} + 4 {(0.4)}^{3}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $0.4$ 进行 $4$ 次方运算。

$g' (0.4) = - 5 \cdot 0.0256 + 4 {(0.4)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0.0256$ 。

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 {(0.4)}^{3}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $0.4$ 进行 $3$ 次方运算。

$g' (0.4) = - 0.128 + 4 \cdot 0.064$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0.064$ 。

$g' (0.4) = - 0.128 + 0.256$

解题步骤 10.3.2.2

将 $- 0.128$ 和 $0.256$ 相加。

$g' (0.4) = 0.128$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $0.128$ 。

$0.128$

解题步骤 10.4

将区间 $(\frac{4}{5}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $- 5 x^{4} + 4 x^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$g' (3) = - 5 {(3)}^{4} + 4 {(3)}^{3}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$g' (3) = - 5 \cdot 81 + 4 {(3)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $81$ 。

$g' (3) = - 405 + 4 {(3)}^{3}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$g' (3) = - 405 + 4 \cdot 27$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$g' (3) = - 405 + 108$

解题步骤 10.4.2.2

将 $- 405$ 和 $108$ 相加。

$g' (3) = - 297$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- 297$ 。

$- 297$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = \frac{4}{5}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{4}{5}$ 是极大值。

$x = \frac{4}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 10.7

这些是 $g (x) = x^{4} - x^{5}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极小值

$x = \frac{4}{5}$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = \frac{4}{5}$ 是一个极大值

解题步骤 11

微积分学 示例

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