微积分学示例

$\ln (e^{3 x} + x)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{3 x} + x$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{3 x} + x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{3 x} + x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{3 x} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ 的因式。

$(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}$

解题步骤 5.2

将 $3 e^{3 x} + 1$ 乘以 $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ 。

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$

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