微积分学示例

$f (x) = \cos (x^{2})$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

解题步骤 1.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (x^{2}) x$

解题步骤 1.2.2.2

重新排序 $- 2 \sin (x^{2}) x$ 的因式。

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x \sin (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x^{2})$ 。

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 移到 $\cos (x^{2})$ 的左侧。

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 $\sin (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

解题步骤 2.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

解题步骤 2.11.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ 。

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

微积分学 示例

微积分学示例