微积分学示例

$y = \frac{1}{2} {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x - 6)}^{2}$ 重写为 $(x - 6) (x - 6)$ 。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x - 6) (x - 6))$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 6) (x - 6)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 6) - 6 (x - 6))$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)$

解题步骤 3.1.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)$

解题步骤 3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)$

解题步骤 3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 12 x + 36)$

解题步骤 4

运用分配律。

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 12 x) + \frac{1}{2} \cdot 36$

解题步骤 5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 12 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 6 x)) + \frac{1}{2} \cdot 36$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot 36$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (18))$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 18)$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 6 x + 18$

解题步骤 6

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 7

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 7.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

解题步骤 7.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{- 6}{2 (0.5)}$

解题步骤 7.3

化简 $- \frac{- 6}{2 (0.5)}$ 。

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解题步骤 7.3.1

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

解题步骤 7.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.2.1

从 $2 \cdot 0.5$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 (0.5)}$

解题步骤 7.3.1.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 0.5}$

解题步骤 7.3.1.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{- 3}{0.5}$

解题步骤 7.3.2

化简表达式。

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解题步骤 7.3.2.1

用 $- 3$ 除以 $0.5$ 。

$x = - - 6$

解题步骤 7.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$x = 6$

解题步骤 8

计算 $f (6)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = \frac{{(6)}^{2}}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (6) = \frac{36}{2} - 6 \cdot 6 + 18$

解题步骤 8.2.1.2

用 $36$ 除以 $2$ 。

$f (6) = 18 - 6 \cdot 6 + 18$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 6$ 乘以 $6$ 。

$f (6) = 18 - 36 + 18$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $18$ 中减去 $36$ 。

$f (6) = - 18 + 18$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 18$ 和 $18$ 相加。

$f (6) = 0$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 9

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(6, 0)$

解题步骤 10

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