微积分学示例

$2 y^{3} + 4 x^{2} - y = x^{6}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (2 y^{3} + 4 x^{2} - y) = \frac{d}{d y} (x^{6})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 y^{3} + 4 x^{2} - y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d y} [4 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ 。

$6 y^{2} + 4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$6 y^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 y^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 y^{2} + 4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$6 y^{2} + 4 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$6 y^{2} + 8 x x' + \frac{d}{d y} [- y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d y} [- y]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$6 y^{2} + 8 x x' - \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 y^{2} + 8 x x' - 1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{6}$ 且 $g (y) = x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$6 x^{5} x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 = 6 x^{5} x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $6 x^{5} x'$ 。

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = 0$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $6 y^{2}$ 。

$8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2}$

解题步骤 5.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$8 x x' - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

解题步骤 5.3

从 $8 x x' - 6 x^{5} x'$ 中分解出因数 $2 x x'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

从 $8 x x'$ 中分解出因数 $2 x x'$ 。

$2 x x' \cdot 4 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

解题步骤 5.3.2

从 $- 6 x^{5} x'$ 中分解出因数 $2 x x'$ 。

$2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

解题步骤 5.3.3

从 $2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4})$ 中分解出因数 $2 x x'$ 。

$2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

解题步骤 5.4

将 $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ 中的每一项除以 $2 x (4 - 3 x^{4})$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ 中的每一项都除以 $2 x (4 - 3 x^{4})$ 。

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.2.3

约去 $4 - 3 x^{4}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.2.3.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1.1

从 $- 6 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.3.1.1.2.1

从 $2 x (4 - 3 x^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

微积分学 示例

微积分学示例