微积分学示例

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = 5 x + 2$ 。

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(5 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(5 x + 2) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(5 x + 2) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 x + 2) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(5 x + 2) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.6.2

将 $4$ 移到 $5 x + 2$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $5 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12

化简表达式。

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解题步骤 3.2.12.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.12.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (5 x + 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(4 (5 x) + 4 \cdot 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (5 (x \cdot x)) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

从 $20 x^{2}$ 中减去 $10 x^{2}$ 。

$\frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

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