微积分学示例

$lim_{n \to \infty} \frac{4 n^{2}}{n^{2} + 10000 n}$

解题步骤 1

因为项 $4$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} + 10000 n}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $n$ 的最高次幂，即 $n^{2}$ 。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $n^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $n^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10000 n}{n^{2}}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $n$ 和 $n^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $10000 n$ 中分解出因数 $n$ 。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $n^{2}$ 中分解出因数 $n$ 。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n \cdot n}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

约去公因数。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{n \cdot 10000}{n \cdot n}}$

解题步骤 3.2.2.2.3

重写表达式。

$4 lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{10000}{n}}$

解题步骤 3.3

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$4 \frac{lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{10000}{n}}$

解题步骤 3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + \frac{10000}{n}}$

解题步骤 3.5

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{1}{lim_{n \to \infty} 1 + lim_{n \to \infty} \frac{10000}{n}}$

解题步骤 3.6

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{1}{1 + lim_{n \to \infty} \frac{10000}{n}}$

解题步骤 3.7

因为项 $10000$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{1}{1 + 10000 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n}$ 趋于 $0$ 。

$4 \frac{1}{1 + 10000 \cdot 0}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $10000$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{1}{1 + 0}$

解题步骤 5.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$4 \cdot 1$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

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