微积分学示例

$\frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{5}{x} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int \frac{1}{x} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$5 (\ln (| x |) + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$5 (\ln (| x |) + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$5 (\ln (| x |) + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 9

化简。

$5 \ln (| x |) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{5}{x} + \sqrt{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5 \ln (| x |) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

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