微积分学示例

$\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + 2 x}$ 重写成 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

根据加法法则， ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 + 2 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + 2 x$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

使用 $1 + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

根据加法法则， $1 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 12

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14

化简项。

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解题步骤 14.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 16

将 $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 17

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 18

合并分数。

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解题步骤 18.1

将 $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 18.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 19

将 $\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 20

化简项。

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解题步骤 20.1

合并。

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.2

运用分配律。

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.3

约去 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 20.3.1

约去公因数。

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20.3.2

重写表达式。

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 22

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1))}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23

化简。

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解题步骤 23.1

运用分配律。

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - - 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2

化简分子。

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解题步骤 23.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.2

运用分配律。

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.4

将 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5

化简每一项。

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解题步骤 23.2.5.1

通过指数相加将 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 23.2.5.1.1

移动 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{1} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.2

化简 $- {(1 + 2 x)}^{1}$ 。

$\frac{x - (1 + 2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.3

运用分配律。

$\frac{x - 1 \cdot 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.5.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 1 - 2 x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.2.6

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23.3

重新排序项。

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.6

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.7

从 ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.8

从 $- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.9

将 $- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ 重写为 $- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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