微积分学示例

$x \log (x)$

解题步骤 1

将 $x \log (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \log (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \log (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \log (x)$ ， $d v = x$ 。

$\log (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\log (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

解题步骤 5.2

组合 $\log (x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x \ln (10)}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (10)} d x)$

解题步骤 7.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $x \ln (10)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))} d x)$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x)$

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{\ln (10)}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{\ln (10)}$ 移到积分外。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (10)} \int x d x)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{\ln (10)}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (10) \cdot 2} \int x d x$

解题步骤 9.2

将 $2$ 移到 $\ln (10)$ 的左侧。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \int x d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ 。

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log (x)$ 。

$\frac{\log (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $\frac{\log (x)}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 \ln (10)}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (10))} x^{2} + C$

解题步骤 11.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

解题步骤 11.3

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{4 \ln (10)}$ 。

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (10)} + C$

解题步骤 11.4

重新排序项。

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = x \log (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

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