微积分学示例

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t$

解题步骤 1

分解总和使 $t$ 的初始值等于 $1$ 。

$7 \sum_{t = 4}^{9} t^{2} - 7 t = 7 (\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t - \sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t)$

解题步骤 2

计算 $\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 t = \sum_{t = 1}^{9} t^{2} - 7 \sum_{t = 1}^{9} t$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{t = 1}^{9} t^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

解题步骤 2.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.1

从 $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

解题步骤 2.2.3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

解题步骤 2.2.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.3.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

解题步骤 2.2.3.2.4

将 $18$ 和 $1$ 相加。

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

解题步骤 2.2.3.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.3.1

将 $30$ 乘以 $19$ 。

$\frac{570}{2}$

解题步骤 2.2.3.3.2

用 $570$ 除以 $2$ 。

$285$

解题步骤 2.3

计算 $7 \sum_{t = 1}^{9} t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 7) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$- 7 \frac{9 \cdot 10}{2}$

解题步骤 2.3.3.2

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$- 7 (\frac{90}{2})$

解题步骤 2.3.3.3

用 $90$ 除以 $2$ 。

$- 7 \cdot 45$

解题步骤 2.3.3.4

将 $- 7$ 乘以 $45$ 。

$- 315$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$285 - 315$

解题步骤 2.5

从 $285$ 中减去 $315$ 。

$- 30$

解题步骤 3

计算 $\sum_{t = 1}^{3} t^{2} - 7 t$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

展开 $t$ 每个取值的序列。

$1^{2} - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 7 \cdot 1 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.2

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$1 - 7 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.3

从 $1$ 中减去 $7$ 。

$- 6 + 2^{2} - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6 + 4 - 7 \cdot 2 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.5

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$- 6 + 4 - 14 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.6

从 $4$ 中减去 $14$ 。

$- 6 - 10 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.7

从 $- 6$ 中减去 $10$ 。

$- 16 + 3^{2} - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 16 + 9 - 7 \cdot 3$

解题步骤 3.2.9

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$- 16 + 9 - 21$

解题步骤 3.2.10

从 $9$ 中减去 $21$ 。

$- 16 - 12$

解题步骤 3.2.11

从 $- 16$ 中减去 $12$ 。

$- 28$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$7 (- 30 + 28)$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $- 30$ 和 $28$ 相加。

$7 \cdot - 2$

解题步骤 5.2

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$- 14$

微积分学 示例

微积分学示例