微积分学示例

$\sin (x^{3} y) = x^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{3} y)) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{3} y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} y$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

解题步骤 2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{3} y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (x^{3} y) \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

解题步骤 2.5

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2})$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\cos (x^{3} y) (x^{3} y') + \cos (x^{3} y) (3 y x^{2})$

解题步骤 2.6.2

重新排序项。

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $x^{3} \cos (x^{3} y) y' + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ 中的因式重新排序。

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) + 3 x^{2} y \cos (x^{3} y) = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ 。

$x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$

解题步骤 5.3

将 $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ 中的每一项除以 $x^{3} \cos (x^{3} y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x^{3} y' \cos (x^{3} y) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ 中的每一项都除以 $x^{3} \cos (x^{3} y)$ 。

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{3} y' \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $\cos (x^{3} y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' \cos (x^{3} y)}{\cos (x^{3} y)} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

从 $x^{3} \cos (x^{3} y)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{3}{x \cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

分离分数。

$y' = \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x^{3} y)} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将 $\frac{1}{\cos (x^{3} y)}$ 转换成 $\sec (x^{3} y)$ 。

$y' = \frac{3}{x} \sec (x^{3} y) + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.4

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $\sec (x^{3} y)$ 。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.5

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1

从 $- 3 x^{2} y \cos (x^{3} y)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{3} \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.2.1

从 $x^{3} \cos (x^{3} y)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{x^{2} (- 3 y \cos (x^{3} y))}{x^{2} (x \cos (x^{3} y))}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.6

约去 $\cos (x^{3} y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.6.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y \cos (x^{3} y)}{x \cos (x^{3} y)}$

解题步骤 5.3.3.1.6.2

重写表达式。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} + \frac{- 3 y}{x}$

解题步骤 5.3.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x^{3} y)}{x} - \frac{3 y}{x}$

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