微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.7

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.7.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.8.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sin (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sin (2 - 3 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\sin (- 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.2.8.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{2} + 3 x + 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $2 x^{2} + 3 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $2 x^{2} + 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.9

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.11

将 $4 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

解题步骤 1.3.12

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.15

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

解题步骤 2.8

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3)$

解题步骤 2.9

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

解题步骤 2.10

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

解题步骤 3

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (2 - 3 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\cos (- 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (0) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

解题步骤 4.5

将 $4 \cdot - 1 + 3$ 乘以 $1$ 。

$4 \cdot - 1 + 3$

解题步骤 4.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 + 3$

解题步骤 4.7

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$- 1$

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