微积分学示例

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{2} d x$ ，以便 $2 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 u \sin (u) d u$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int u \sin (u) d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \sin (u)$ 。

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

解题步骤 6.2

将 $\int \cos (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

解题步骤 7

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

解题步骤 8

将 $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ 重写为 $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ 。

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

解题步骤 9

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\cos (\frac{x}{2})$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 10.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

将 $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 10.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 10.3.3

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 10.3.4

重写表达式。

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 10.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 10.5

将 $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ 中的因式重新排序。

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$

微积分学 示例

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