微积分学示例

$\int (\frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{\sqrt{z}}) d z$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{\sqrt{z}} d z$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{z}$ 重写成 $z^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3}{z^{\frac{1}{2}}} d z$

解题步骤 3

通过将 $z^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) {(z^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d z$

解题步骤 4

将 ${(z^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d z$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{\frac{- 1}{2}} d z$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5

展开 $(z^{6} + 3 z^{4} - z^{2} - 3) z^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int (z^{6} + 3 z^{4} - z^{2}) z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\int (z^{6} + 3 z^{4}) z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\int z^{6} z^{- \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int z^{6 - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.5

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int z^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.6

组合 $6$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int z^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.7

在公分母上合并分子。

$\int z^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.8

化简分子。

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解题步骤 5.8.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\int z^{\frac{12 - 1}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.8.2

从 $12$ 中减去 $1$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4} z^{- \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4 - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.10

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.11

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.12

在公分母上合并分子。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{4 \cdot 2 - 1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.13

化简分子。

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解题步骤 5.13.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{8 - 1}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.13.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2} z^{- \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.14

提取负因数。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - (z^{2} z^{- \frac{1}{2}}) - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2 - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.16

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.17

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.18

在公分母上合并分子。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.19

化简分子。

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解题步骤 5.19.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{4 - 1}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.19.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\int z^{\frac{11}{2}} + 3 z^{\frac{7}{2}} - z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 5.20

将 $z^{\frac{11}{2}}$ 和 $3 z^{\frac{7}{2}}$ 重新排序。

$\int 3 z^{\frac{7}{2}} + z^{\frac{11}{2}} - z^{\frac{3}{2}} - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 3 z^{\frac{7}{2}} d z + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int z^{\frac{7}{2}} d z + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 8

根据幂法则， $z^{\frac{7}{2}}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}} + C) + \int z^{\frac{11}{2}} d z + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 9

根据幂法则， $z^{\frac{11}{2}}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{9} z^{\frac{9}{2}} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 10

组合 $\frac{2}{9}$ 和 $z^{\frac{9}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C + \int - z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - \int z^{\frac{3}{2}} d z + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 12

根据幂法则， $z^{\frac{3}{2}}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 13

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $z^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \int - 3 z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 14

由于 $- 3$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 \int z^{- \frac{1}{2}} d z$

解题步骤 15

根据幂法则， $z^{- \frac{1}{2}}$ 对 $z$ 的积分是 $2 z^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{9} + C) + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} + C - (\frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} + C) - 3 (2 z^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

化简。

$\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 z^{\frac{13}{2}}}{13} - \frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} - 3 (2 z^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 16.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 z^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 z^{\frac{13}{2}}}{13} - \frac{2 z^{\frac{5}{2}}}{5} - 6 z^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$\frac{2}{3} z^{\frac{9}{2}} + \frac{2}{13} z^{\frac{13}{2}} - \frac{2}{5} z^{\frac{5}{2}} - 6 z^{\frac{1}{2}} + C$

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