微积分学示例

$\frac{1 + \tan (x)}{1 + \cot (x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 + \tan (x)$ 且 $g (x) = 1 + \cot (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \tan (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 3

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $1 + \cot (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ 相加。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 5

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) - (1 + \tan (x)) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6

乘。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + 1 (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 6.2

将 $1 + \tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + \cot (x)) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + (1 + \tan (x)) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

将 $\sec^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \cot (x) \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.3

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.4

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.6

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.7

约去 $\cos (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.7.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\sin (x) \cos^{2} (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.7.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.7.2.1

从 $\sin (x) \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.7.2.2

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{\cos (x) \cdot 1}{\cos (x) (\sin (x) \cos (x))} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.8

分离分数。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.9

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + 1 \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.11

将 $\csc^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \tan (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.12

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.13

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.14

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.15

一的任意次幂都为一。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.16

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.17

约去 $\sin (x)$ 和 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.17.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \sin^{2} (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.17.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.1.17.2.1

从 $\cos (x) \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.17.2.2

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{\sin (x) \cdot 1}{\sin (x) (\cos (x) \sin (x))}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.17.2.3

重写表达式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.18

分离分数。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.19

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.1.20

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

重新排序 $\sec (x) \csc (x)$ 的因式。

$\frac{\sec^{2} (x) + \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x) + \csc (x) \sec (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.3.3

将 $\csc (x) \sec (x)$ 和 $\csc (x) \sec (x)$ 相加。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$\frac{2 \csc (x) \sec (x) + \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 7.5.1

重新整理项。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \csc (x) \sec (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 \csc (x) \sec (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x)$

解题步骤 7.5.3

重写多项式。

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \cdot \sec (x) \cdot \csc (x) + \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

解题步骤 7.5.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = \sec (x)$ 和 $b = \csc (x)$ 。

$\frac{{(\sec (x) + \csc (x))}^{2}}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

微积分学 示例

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