微积分学示例

$\int {(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = {(2 x + 3)}^{2}$ ， $d v = e^{x + 1}$ 。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - \int e^{x + 1} (8 x + 12) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 8 x + 12$ ， $d v = e^{x + 1}$ 。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int e^{x + 1} \cdot 8 d x)$

解题步骤 3

将 $8$ 移到 $e^{x + 1}$ 的左侧。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - \int 8 e^{x + 1} d x)$

解题步骤 4

由于 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - (8 \int e^{x + 1} d x))$

解题步骤 5

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{x + 1} d x)$

解题步骤 6

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 ${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 (e^{u} + C))$ 重写为 $(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$ 。

$(2 x + 3) (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

${(2 x + 3)}^{1} (2 x + 3) e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

解题步骤 8.2.2

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

${(2 x + 3)}^{1} {(2 x + 3)}^{1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

解题步骤 8.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(2 x + 3)}^{1 + 1} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

解题步骤 8.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{u}) + C$

解题步骤 9

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1} - 8 e^{x + 1}) + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - ((8 x + 12) e^{x + 1}) - (- 8 e^{x + 1}) + C$

解题步骤 10.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1} + C$

解题步骤 10.3

将 $- (8 x + 12) e^{x + 1} + 8 e^{x + 1}$ 中的因式重新排序。

${(2 x + 3)}^{2} e^{x + 1} - e^{x + 1} (8 x + 12) + 8 e^{x + 1} + C$

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