微积分学示例

$- 6 \sin (3 x) d x$

解题步骤 1

由于 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 6$ 移到积分外。

$- 6 \int \sin (3 x) d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- 6 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 6 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$- 6 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{- 6}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 5.2

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \sin (u) d u$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \sin (u) d u$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \sin (u) d u$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{1} \int \sin (u) d u$

解题步骤 5.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2 \int \sin (u) d u$

解题步骤 6

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$- 2 (- \cos (u) + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$- 2 (- \cos (u)) + C$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \cos (u) + C$

解题步骤 8

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cos (3 x) + C$

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