微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - c & x < 5 \\ 4 x + 2 c & x \geq 5 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $5$ 时，求 $x^{2} - c$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - c$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} c$

解题步骤 1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 5^{-}} c$

解题步骤 1.2.3

计算 $c$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

${(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - c$

解题步骤 1.3

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5^{2} - c$

解题步骤 1.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$25 - c$

解题步骤 2

计算 $4 x + 2 c$ 在 $5$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$4 (5) + 2 c$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 + 2 c$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $5$ 时， $x^{2} - c$ 的极限不等于 $x = 5$ 处的函数值，因此函数在 $x = 5$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

微积分学 示例