微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{16}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{16}{3}$ 移到积分外。

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 - 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $3 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$0 - 2$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 3 - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 3 - 2$

解题步骤 2.3.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 3 - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 3 - 4$

解题步骤 2.5.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $u^{\frac{5}{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{16}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

解题步骤 6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

解题步骤 6.3

约去 $16$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{5}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ 。

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ 在 $- 1$ 处和在 $1$ 处的值。

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2.3.2

重写表达式。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2.4

对 $- 1$ 进行 $8$ 次方运算。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2.5

将 $\frac{3}{8}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

解题步骤 8.2.6

一的任意次幂都为一。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

解题步骤 8.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

解题步骤 8.2.8

在公分母上合并分子。

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

解题步骤 8.2.9

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

解题步骤 8.2.10

约去 $0$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.10.1

从 $0$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

解题步骤 8.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.10.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.10.2.2

约去公因数。

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

解题步骤 8.2.10.2.3

重写表达式。

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

解题步骤 8.2.10.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

解题步骤 8.2.11

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 (\frac{8}{3})$

解题步骤 8.2.12

将 $0$ 乘以 $\frac{8}{3}$ 。

$0$

解题步骤 9

微积分学 示例

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