微积分学示例

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 1.3.2

组合 $e^{\frac{1}{x}}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 2.6.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.6.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.7

化简表达式。

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解题步骤 2.7.1

化简 $x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.7.2

将 $- 1$ 移到 $e^{\frac{1}{x}}$ 的左侧。

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.7.3

将 $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $- e^{\frac{1}{x}}$ 。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

解题步骤 2.11.2

将 $- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

解题步骤 2.12

化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ 中的因式重新排序。

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2

从 $- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{1}{x}}$ 。

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解题步骤 2.12.2.1

从 $- e^{\frac{1}{x}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{1}{x}}$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.2

从 $- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{1}{x}}$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.3

从 $e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ 中分解出因数 $e^{\frac{1}{x}}$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.5

从 $- 1 (1) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.6

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.8

将 $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ 。

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

微积分学 示例

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