微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

解题步骤 4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 5.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 5.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$5 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$5 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 5.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

解题步骤 6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 7.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 7.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 7.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 7.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

解题步骤 8

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

解题步骤 9

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

取分子和分母极限值。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 9.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 9.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 9.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 9.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 9.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 9.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 9.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 11

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

取分子和分母极限值。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 11.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 11.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 11.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 11.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 11.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

对分子和分母进行求导。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 11.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 11.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 12

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{x}}$ 趋于 $0$ 。

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

解题步骤 13

乘以 $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

解题步骤 13.2

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$60 \cdot 2 \cdot 0$

解题步骤 13.3

将 $60$ 乘以 $2$ 。

$120 \cdot 0$

解题步骤 13.4

将 $120$ 乘以 $0$ 。

$0$

微积分学 示例

微积分学示例