微积分学示例

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{5}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{3} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2.6

组合 $\frac{- 20}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.3.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.3.4

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

解题步骤 1.4

因为 $\frac{4}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{15}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5 x^{4}}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{5}{4}$ 。

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.5

组合 $\frac{20}{4}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.6

约去 $20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $20 x^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.2.6.2.4

用 $5 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- \frac{20}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{20 x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

解题步骤 2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

解题步骤 2.3.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{20}{3}$ 。

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

解题步骤 2.3.5

将 $- 3$ 乘以 $20$ 。

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

解题步骤 2.3.6

组合 $\frac{- 60}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

解题步骤 2.3.7

约去 $- 60$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.1

从 $- 60 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

解题步骤 2.3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

解题步骤 2.3.7.2.2

约去公因数。

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.7.2.3

重写表达式。

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

解题步骤 2.3.7.2.4

用 $- 20 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$

微积分学 示例

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