微积分学示例

$- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

解题步骤 1

将 $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- \frac{1}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{6} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.5

组合 $\frac{- 4}{6}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.6

约去 $- 4$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.5

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.6

组合 $\frac{- 6}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.7

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.7.1

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.2.7.2.4

用 $- 2 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 x^{2} + 2$ 。

$- 2 x^{2} + 2$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- 2 x^{2} = - 2$

解题步骤 3.3

将 $- 2 x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 2 x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 2$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

解题步骤 4.1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

解题步骤 4.1.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f (1) = \frac{5}{6}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $\frac{5}{6}$ 。

$\frac{5}{6}$

解题步骤 4.2

通过将 $1$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 中求得的点为 $(1, \frac{5}{6})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(1, \frac{5}{6})$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{4}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1

移动 ${(- 1)}^{4}$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

将 ${(- 1)}^{4}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

解题步骤 4.3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

解题步骤 4.3.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

解题步骤 4.3.2.2.3

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $\frac{5}{6}$ 。

$\frac{5}{6}$

解题步骤 4.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ 中求得的点为 $(- 1, \frac{5}{6})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, \frac{5}{6})$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

解题步骤 6.2.2

将 $- 2.42$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.42$ 。

$- 0.42$

解题步骤 6.3

在 $- 1.1$ ，二阶导数为 $- 0.42$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 1, 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 2$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f'' (0) = 2$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 7.3

在 $0$ 处，二阶导数为 $2$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 1, 1)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, 1)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

解题步骤 8.2.2

将 $- 2.42$ 和 $2$ 相加。

$f'' (1.1) = - 0.42$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 0.42$ 。

$- 0.42$

解题步骤 8.3

在 $1.1$ ，二阶导数为 $- 0.42$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(1, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(1, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ 。

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

解题步骤 10

微积分学 示例

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